A261556, trovato a(36)

Ultima modifica: 23 October 2026

A261556: il trentaseiesimo termine

Il 22 ottobre 2026, alle 22:19, un Raspberry Pi 5 acceso in un angolo di casa ha trovato un numero che aspettavo da sette anni:

a(36) = 37 740 491 068 620.

Quattordici cifre. Divide, come gli altri della famiglia, il prodotto dei fattoriali delle proprie cifre più la loro somma. Non è ancora sulla scheda OEIS: va mandato agli editor. Ma il calcolo è chiuso, verificato, e tra a(35) e questo non c’è niente.

A settembre, quando ho messo in moto la ricerca, ho scritto una nota su che cosa è l’OEIS, su questa sequenza e su chi ha messo le mani sulla scheda. Quella resta com’era. Questa racconta la caccia e il numero nuovo.

Sulla scheda del giardino, in indice, c’è il Raspberry Pi 5 che ha fatto il conto: la macchina, non un grafico della sequenza. Foto di Simon Waldherr, febbraio 2024, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons.

Nel testo, una spirale di Ulam: i numeri naturali disposti a chiocciola, i primi in evidenza. Non è un grafico di A261556; è il ritratto più famoso della teoria dei numeri «vista da lontano». File originale: Wikimedia Commons, licenza CC0.

Spirale di Ulam fino a circa quattro milioni. Autore: あるうぃんす, 2014. Pubblico dominio (CC0).

Che cos’è l’OEIS, in due parole

L’OEIS è l’enciclopedia online delle successioni di interi. Neil J. A. Sloane la cominciò da studente, negli anni Sessanta, su schede cartacee; nel 1973 uscì A Handbook of Integer Sequences, nel 1995 The Encyclopedia of Integer Sequences con Simon Plouffe. Dal 1996 è in rete. Oggi la tiene l’OEIS Foundation. A ottobre 2026 conta circa 400 000 sequenze.

Il gioco è questo: hai una lista di numeri e non sai se esiste già. La cerchi. Se non c’è, la proponi. Un editor la rivede — definizione, termini, programmi, riferimenti — e, se regge, la pubblica con un codice A seguito da sei cifre. La mia è A261556, accettata il 31 agosto 2015.

Una scheda OEIS non è un articolo firmato da uno. È un oggetto collettivo: ogni riga ha un timestamp e una firma. Si può estendere. Stavolta l’estensione la porto io.

Che cosa sono questi numeri

Un intero positivo sta in A261556 se divide la somma di due quantità costruite sulle sue cifre decimali:

• il prodotto dei fattoriali delle cifre;
• la somma dei fattoriali delle cifre.

Detto in parole: si prendono le cifre, si calcola il fattoriale di ciascuna, si moltiplicano tra loro, si sommano tra loro, e si addizionano quei due risultati. Se il numero di partenza divide quel totale senza resto, è nella sequenza.

L’esempio della scheda è 54. Il fattoriale di 5 è 120, quello di 4 è 24. Il prodotto è 2 880, la somma è 144, il totale è 3 024. 3 024 diviso 54 fa 56, resto zero.

I termini, compreso il nuovo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 17, 54, 86, 573, 768, 999,
6143, 94584, 159287, 27167549, 40548073, 72382636,
131092614, 340720926, 1161216721, 2955383683, 3892089702,
5304046976, 6554754648, 72338498624, 279445396448,
331043595868, 466026097373, 962499474063, 3082891291712,
37740491068620

Sono 36 numeri. L’ultimo pubblicato in enciclopedia resta a(35) = 3 082 891 291 712 (Giovanni Resta, 19 agosto 2019). Il trentaseiesimo, per ora, vive qui e nel file dei hit del cercatore.

Spirale di Ulam a 150 iterazioni: primi in rosso, gli altri in blu con raggio legato al numero di divisori. Autore: Cortexd, 2005. Pubblico dominio.

Il numero nuovo

37 740 491 068 620 ha quattordici cifre, tre zeri, e funziona lo stesso: il fattoriale di 0 vale 1, per convenzione, quindi uno zero in mezzo non azzera il prodotto. Per questo numero il conto torna per intero: il totale (prodotto dei fattoriali delle cifre, più la loro somma) diviso 37 740 491 068 620 fa 35 286 274 214 069.

Resto zero, aritmetica esatta, non solo il test del cercatore. Rapporto con il precedente: ×12,24. È il buco più lungo della sequenza nota (il record precedente era ×11). Tra tredici e quattordici cifre, dopo a(35), non c’è nessun altro termine.

Per numero di cifre, adesso:

Sette cifre: nessuno. Tredici: uno solo. Quattordici: uno solo, e tardi. Non è monotona.

L’OEIS la marca base: la definizione usa le cifre in base 10. Parenti stretti: A197181 (solo il prodotto), A247227 (solo la somma). I factorion chiedono l’uguaglianza con la somma dei fattoriali; qui basta la divisibilità. L’uguaglianza è finita (si dimostra); la divisibilità, no.

Se quel totale si comportasse come un intero casuale rispetto al numero, ci si aspetterebbero circa 2,3 termini per ogni lunghezza. È il logaritmo naturale di 10: viene fuori sommando, su tutti i numeri con le stesse cifre, la probabilità «uno su quel numero». Dalle 2 alle 12 cifre la media è 2,27. Il deserto dopo a(35) no: l’euristica avrebbe voluto due o tre numeri, e ne è uscito uno solo, già a 14 cifre. O sfiga, o i termini si diradano. Resta che uno c’è. Congettura, non teorema: la sequenza è infinita.

La caccia sul Raspberry Pi

Ho scelto un Raspberry Pi 5 (Model B rev. 1.1, quattro core Cortex-A76 a 2,4 GHz, 8 GB di RAM) per un motivo solo: consuma pochissimo. Un torre da tavolo, acceso un mese a pieno carico, è una stufetta. Il Pi, sotto lo stesso lavoro, sta sui dieci watt: pochi kilowattora in cinque settimane, una bolletta che non si vede. Si può lasciare acceso in un angolo, senza rumore e senza sensi di colpa, mentre fa una cosa sola.

Non è la macchina più veloce. È la macchina che potevo tenere accesa.

Che cosa cerca il programma

A partire dal primo candidato dopo a(35), cioè 3 082 891 291 713, prova ogni intero. Per ciascuno calcola il resto della divisione tra quel totale (prodotto dei fattoriali delle cifre, più la loro somma) e il numero stesso, e lo tiene se il resto è zero. Il prodotto si calcola già ridotto al resto, con interi da 128 bit: non serve il valore enorme del prodotto dei fattoriali (per a(36) sono 91 bit), basta il resto. Il test vale finché il numero sta sotto 2 alla 64, circa 18,4 miliardi di miliardi.

Quattro thread si spartiscono tutti gli interi a passo 4, ciascuno su una classe di resto. Insieme coprono ogni numero. Non saltano, non si ricalcolano a vuoto se non ai resume. L’hit è caduto sui multipli di 4, un filo davanti al fronte più lento.

Come si ferma e si riparte

Il cercatore è in C (a261556.c), con una CLI da servizio:

./a261556 start -b    # distacca in background, log su disco
./a261556 stop        # arresto pulito, il checkpoint resta
./a261556 status      # fronte, velocità, hit
./a261556 test        # i termini noti della scheda, più controesempi

Ogni milione di numeri per thread scrive un checkpoint atomico: file temporaneo, fsync, rename. I quattro cursori sono il prossimo numero da controllare, non l’ultimo già fatto. Uno spegnimento brusco, nel caso peggiore, fa rifare un pezzo di lavoro. Non può andare avanti rispetto a numeri non ancora visti.

I termini nuovi vanno in a261556.hits con fsync immediato, così un blackout non se li mangia. Ce n’è stato uno, a metà settembre: 80 byte a zero nel log, il checkpoint già a posto, nessun buco nella progressione.

Ctrl+C o ./a261556 stop attendono i thread, riscrivono il checkpoint, escono. Un secondo start è rifiutato se il pid è vivo.

I numeri della campagna

Dopo l’hit il Pi ha continuato un altro giorno, fino a circa 39 000 miliardi. Nessun secondo termine in quel tratto. Lo stop finale è del 23 ottobre 2026, alle 22:05.

Diciassette avvii in tutto. Il più lungo è stato ininterrotto per 162 ore. Un brute force fino a due milioni in C riproduce esattamente i 19 termini OEIS di quell’intervallo. Python, rifacendo il conto con i numeri interi e non solo con il resto, dà resto 0 su a(36).

Date, accettazione, chi ha contribuito

Fatti presi dalla storia della scheda, più il termine nuovo, che non è ancora in enciclopedia.

Due date da tenere distinte, all’origine:

• 24 agosto 2015 — nasce la scheda (allocazione e prima bozza).
• 31 agosto 2015 — viene accettata (status approved).

Poi silenzio di quasi quattro anni, un colpo di Wu nel maggio 2019, Resta di nuovo in agosto. Poi silenzio di sette anni. L’intervallo dopo i 3 080 miliardi era aperto: nessuno aveva pubblicato un bound del tipo «a(36) è maggiore di 10 000 miliardi». Adesso c’è un termine vero. Manca solo mandarlo.

Io, Paolo Omodei-Zorini. Autore della definizione e dei primi 23 termini, e ora di a(36). Non sono un matematico di professione: ho proposto la sequenza perché la condizione mi sembrava naturale — un cugino dei factorion, ma con prodotto e somma — e perché non la trovavo già in enciclopedia.

Jon E. Schoenfield. Matematico per diletto, per anni editor OEIS. Il giorno stesso della sottomissione ha spinto i termini di un paio di ordini di grandezza.

Michel Marcus. Editor-in-chief. Il secondo giorno ha messo il programma in PARI/GP e i riferimenti incrociati. Senza di lui la definizione sarebbe rimasta zoppa.

Giovanni Resta. Ricercatore in informatica all’IIT-CNR di Pisa. Tiene Numbers Aplenty. Sulla mia scheda ha messo i termini dal 26° al 30° (agosto 2015) e il 35° (agosto 2019). Ha anche dato il via libera alla prima pubblicazione.

Michael De Vlieger. Editor-in-chief. Architetto di formazione, vive a St. Louis, parla italiano. Il 26 agosto 2015 ha aggiunto il programma Mathematica.

Chai Wah Wu. Principal Research Staff Member all’IBM Thomas J. Watson Research Center, IEEE Fellow. Il 4 maggio 2019 ha trovato i quattro termini a dodici cifre — il salto più lungo in una volta sola dopo la nascita della sequenza, fino ad a(36).

Alois P. Heinz. Editor-in-chief, Maple. Il 4 maggio 2019 ha approvato l’estensione di Wu.

Perché la tengo in questo giardino

Perché è una cosa mia che altri hanno reso migliore, con nomi, date e mestieri precisi. E perché stavolta il pezzo nuovo l’ha trovato una macchina da dieci watt, lasciata accesa abbastanza a lungo.

La spirale di Ulam, in questa nota, non è mia. I numeri della lista, il primo giorno, sì. L’ultimo, undici anni dopo, anche — appena gli editor diranno di sì.

Scheda: oeis.org/A261556. Storia completa: oeis.org/history?seq=A261556. Nota precedente: A261556, una sequenza nell’OEIS.

← Torna al giardino